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The public defense of my PhD thesis will take place on
Wednesday, April 21, 2004, 17 h 15 in Room CM 3 (Centre Midi) at EPFL.

On Fresnelets, Interference Fringes, and Digital Holography

Michael Liebling
PhD Thesis, Swiss Federal Institute of Technology, Lausanne (EPFL), April 2004
Thesis advisor: Prof. Michael Unser

Abstract—In this thesis, we describe new approaches and methods for reconstructing complex-valued wave fields from digital holograms. We focus on Fresnel holograms recorded in an off-axis geometry, for which operational real-time acquisition setups readily exist.

The three main research directions presented are the following. First, we derive the necessary tools to port methods and concepts of wavelet-based approaches to the field of digital holography. This is motivated by the flexibility, the robustness, and the unifying view that such multiresolution procedures have brought to many applications in image processing. In particular, we put emphasis on space-frequency processing and sparse signal representations. Second, we propose to decouple the demodulation from the propagation problem, which are both inherent to digital Fresnel holography. To this end, we derive a method for retrieving the amplitude and phase of the object wave through a local analysis of the hologram's interference fringes. Third, since digital holography reconstruction algorithms involve a number of parametric models, we propose automatic adjustment methods of the corresponding parameters.

We start by investigating the Fresnel transform, which plays a central role in both the modeling of the acquisition procedure and the reconstruction of complex wave fields. The study of the properties that are central to wavelet and multiresolution analysis leads us to derive Fresnelets, a new family of waveletlike bases. Fresnelets permit the analysis of holograms with a good localization in space and frequency, in a way similar to wavelets for images. Since the relevant information in a Fresnel off-axis hologram may be separated both in space and frequency, we propose an approach for selectively retrieving the information in the Fresnelet domain. We show that in certain situations, this approach is superior to others that exclusively rely on the separation in space or frequency.

We then derive a least-squares method for the estimation of the object wave's amplitude and phase. The approach, which is reminiscent of phase-shifting techniques, is sufficiently general to be applied in a wide variety of situations, including those dictated by the use of microscopy objectives.

Since it is difficult to determine the reconstruction distance manually, we propose an automatic procedure. We take advantage of our separate treatment of the phase retrieval and propagation problems to come up with an algorithm that maximizes a sharpness metric related to the sparsity of the signal's expansion in distance-dependent Fresnelet bases.

Based on a simulation study, we suggest a number of guidelines for deciding which algorithm to apply to a given problem. We compare existing and the newly proposed solutions in a wide variety of situations. Our final conclusion is that the proposed methods result in flexible algorithms that are competitive with preexisting ones and superior to them in many cases. Overall, they may be applied in a wide range of experimental situations at a low computational cost.

La soutenance publique de ma thèse aura lieu le
mercredi 21 avril 2004 à 17 h 15 dans l'auditoire CM 3 (Centre Midi) à l'EPFL.

Fresnelettes, franges d'interférences et holographie digitale

Michael Liebling
Thèse de doctorat, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, avril 2004
Directeur de thèse: Prof. Michael Unser

Version Abrégée—Dans cette thèse, nous proposons de nouvelles approches et méthodes pour la reconstruction de champs d'ondes à valeurs complexes à partir d'hologrammes digitaux. Nous nous concentrons sur des hologrammes de type Fresnel, enregistrés dans une géométrie hors axe, pour laquelle des systèmes d'acquisition en temps réel existent actuellement.

La recherche présentée est articulée selon trois axes principaux. Premièrement, nous dérivons les outils nécessaires pour transférer des méthodes et concepts de l'approche multirésolution au domaine de l'holographie digitale. Cette démarche est motivée par la flexibilité, la robustesse et la vision unificatrice que les ondelettes ont apportées à de nombreuses applications en traitement d'images. Nous nous intéressons en particulier au traitement espace-fréquence et aux représentations concises de signaux. Deuxièmement, nous proposons de découpler les deux problèmes inhérents à l'holographie digitale de Fresnel, à savoir ceux liés à la démodulation et à la propagation. À cette fin, nous dérivons une méthode d'estimation de l'amplitude et de la phase de l'onde objet à l'aide d'une analyse locale des franges d'interférence de l'hologramme. Troisièmement, les algorithmes de reconstruction en holographie digitale étant basés sur plusieurs modèles paramétriques, nous proposons des méthodes automatiques d'ajustement des paramètres impliqués.

Nous commençons par étudier la transformée de Fresnel qui joue un rôle majeur tant dans la modélisation de la procédure d'acquisition que dans la reconstruction de champs d'ondes à valeurs complexes. L'étude des propriétés centrales à la théorie des ondelettes et de l'analyse multirésolution nous conduit à dériver les Fresnelettes, une nouvelle famille de bases de type ondelette. Les Fresnelettes permettent l'analyse des hologrammes avec une bonne localisation dans l'espace et les fréquences, comme les ondelettes pour le traitement d'images. Comme l'information encodée dans un hologramme hors axe de type Fresnel peut être séparée à la fois dans l'espace et les fréquences, nous proposons une approche pour la récupérer de manière sélective dans le domaine des Fresnelettes. Comparée à d'autres méthodes basées exclusivement sur la séparation dans l'espace ou dans le domaine des fréquences, cette approche conduit à une qualité de reconstruction supérieure dans de nombreuses situations.

Nous dérivons ensuite une méthode d'estimation par moindres carrés de l'amplitude et de la phase de l'onde objet. Cette approche, qui rappelle certaines techniques de décalage de phase, est suffisamment générale pour être appliquée dans une grande variété d'arrangements expérimentaux, y compris ceux avec un objectif de microscope.

Comme il est difficile de déterminer la distance de reconstruction manuellement, nous proposons une procédure automatique. Notre traitement séparé des problèmes d'estimation de phase et de propagation nous permet de proposer un algorithme qui maximise une métrique de netteté apparentée à la capacité de représenter le signal de manière concise dans des bases de Fresnelettes dépendantes de la distance.

Enfin, nous donnons des directives pour guider le choix de l'algorithme en fonction d'un problème donné. À cet effet, nous effectuons une étude de simulation et comparons des méthodes existantes à celles nouvellement proposées dans une large palette de situations. Nous concluons que ces dernières résultent en des algorithmes à la fois flexibles et dont la qualité de reconstruction est compétitive voire en de nombreux cas supérieure à celle d'autres approches. De manière générale, ils peuvent être appliqués dans une gamme élargie de situations expérimentales tout en limitant les coûts de calcul.

Die öffentliche Verteidigung meiner Doktorarbeit findet am
Mittwoch, den 21. April 2004 um 17 Uhr 15 im Hörsaal CM 3 (Centre Midi, EPFL) statt.

Über Fresnelets, Interferenzmuster und digitale Holographie

Michael Liebling
Dissertation, Eidgenössische Technische Hochschule Lausanne (EPFL), April 2004
Doktorvater: Prof. Michael Unser

Zusammenfassung—Vorliegende Dissertation befasst sich mit neuen Konzepten und Methoden für die Rekonstruktion komplexer Wellenfelder, ausgehend von digitalen Hologrammen. Wir beschränken uns auf Fresnelhologramme, die in einer off-axis Anordnung aufgenommen wurden und wofür Echtzeit Datenerfassungssysteme bereits bestehen.

Die hier vorgestellte Forschungsarbeit hat drei Hauptschwerpunkte. Erstens leiten wir die notwendigen Hilfsmittel her, um Methoden und Konzepte der Multiresolutionsanalyse auf das Gebiet der digitalen Holographie zu übertragen. Dieses Vorgehen wird durch die Flexibilität, Robustheit, sowie die vereinheitlichende Darstellungsweise motiviert, welche den Wavelets bereits zu zahlreichen Anwendungen in der Bildverarbeitung verholfen haben. Insbesondere interessieren wir uns für die Verarbeitung im Raum- und Frequenzbereich und für sparsame Signaldarstellungen. Zweitens schlagen wir vor, die beiden Probleme der digitalen Fresnel Holographie, nämlich das Demodulationsproblem und das Propagationsproblem, zu entkoppeln. Zu diesem Zweck leiten wir eine Methode zur Näherung der Amplitude und der Phase der Objektwelle mittels einer lokalen Analyse der Interferenzstreifen des Hologramms her. Drittens konzentrieren wir uns auf automatische Justierungsmethoden der auftretenden Parameter, zumal Holographie Rekonstruktionsalgorithmen auf mehreren parametrischen Modellen basieren.

Wir beginnen mit der Betrachtung der Fresnel Transformation, die sowohl beim Modellieren des Akquisitionsverfahrens, als auch bei der Rekonstruktion komplexer Wellenfelder eine zentrale Rolle spielt. Die Untersuchung der Eigenschaften, die für die Wavelet- und Multiresolutionsanalyse von Bedeutung sind, führt uns auf die Herleitung einer neuen Familie von Wavelet-artigen Basen: der Fresnelets. In ähnlichem Masse wie Wavelets für Bilder, ermöglichen Fresnelets die Analyse von Hologrammen mit guter Lokalisierung in Raum- und Frequenzbereich. Da die relevanten Informationen in einem Fresnel off-axis Hologramm sowohl im Raum-, wie auch im Frequenzbereich getrennt werden können, schlagen wir eine Methode vor, um die Information im Fresnelet Bereich selektiv wiederzugewinnen. In zahlreichen Situationen weisen wir die Überlegenheit dieses Verfahrens gegenüber anderen nach, die ausschliesslich auf der Trennung im Raum- oder Frequenzbereich beruhen.

Wir entwickeln danach eine Methode zur Schätzung der Amplitude und der Phase der Objektwelle im Sinne der kleinsten Quadrate. Das Konzept, das an gewisse Phasenverschiebungstechniken gemahnt, ist hinreichend allgemein, um in einer grossen Vielfalt von Situationen anwendbar zu sein, einschliesslich solcher, welche die Anwesenheit von Mikroskop Objektiven umfassen.

Da es schwierig ist die Rekonstruktionsdistanz manuell zu ermitteln, schlagen wir hierfür ein automatisches Verfahren vor. Dabei gereicht es uns zum Vorteil, dass wir die Probleme der Phasen Rekonstruktion und der Propagation separat behandeln. Dies is nämlich Voraussetzung eines neuen Algorithmus zur Maximierung einer Schärfemetrik, die verbunden ist mit der Eigenschaft der distanzabhängigen Fresnelet Basen, ein Signal mit möglichst wenig Koeffizienten darzustellen.

Schliesslich schlagen wir Richtlinien vor, zur Auswahl angemessener Algorithmen für jeweils gegebene Probleme. Dazu vergleichen wir in einer Simulationsstudie, das Verhalten von herkömmlichen und den neu vorgeschlagenen Methoden in einer Vielfalt von Situationen. Wir halten fest, dass die vorgeschlagenen Methoden zu flexiblen und rechensparsamen Algorithmen führen. Sie können in einer breiten Palette von experimentellen Situationen angewandt werden und erweisen sich in vielen Fällen den herkömmlichen überlegen.