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La famille de fonctions
B-splines polyharmoniques isotropes, récemment définie,
a été utilisée pour une conception d’ondelettes
dans un schéma de sous-échantillonnage quinconce 2D. Nous nous intéressons dans ce travail au cas dyadique, qui, à chaque itération, réduit le nombre d’échantillons d'un fateur 4. C'est la raison pour laquelle, nous avons besoin de construire trois ondelettes mères alors que le cas quinconce ne nécessite qu’une unique ondelette.
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The
Isotropic Polyharmonic B-Spline family has recently been defined,
and used for wavelet design with a two-dimensional quincunx subsampling scheme.
In this work, we focus on the two-dimensional dyadic scheme, which reduces the number of samples at each iteration by a factor of 4. Therefore, we need to jointly design 3 wavelets instead of 1 in the quincunx case.
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B-spline polyharmonique isotrope d’ordre 10 dans le domaine spatial.
Polyharmonic isotropic B-spline of 10th order in the space domain.
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Schéma de sous-échantillonnage dyadique.
Dyadic sub-sampling scheme.
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Dans un premier temps, nous définissons l’espace des ondelettes engendré par le B-spline polyharmonique utilisé en tant que fonction d’échelle. Nous le caractérisons par une base de trois pré-ondelettes.
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First, we characterise the wavelet space by 3 so-called pre-wavelets when using the polyharmonic B-spline as a scaling function.
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Les trois pre-ondelettes dans le domaine spatial.
The three pre-wavelets in the space domain.
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Puis, nous mettons en évidence les conditions
d’orthonormalité de la base d’ondelettes et nous les
appliquons à la construction d’une telle base à
l’aide d’une approche matricielle.
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Then, we clarify the orthonormality conditions on the wavelet base.
We propose a matrix-based method to ensure these conditions in order to construct orthonormal bases for the wavelet space.
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Afin de concevoir des ondelettes dont nous imposons l’occupation fréquentielle, nous appliquons des contraintes de symétrie sur les solutions.
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The design can be guided by a desired tiling in the frequency domain for the support of wavelets. It can be imposed by well-chosen symmetries for the solution.
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Deux exemples de bases ainsi concues (à gauche, l'occupation fréquentielle et à droite, les 3 ondelettes).
Two examples of designed bases (on the left the frequency tiling; on the right the three wavelets).
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À partir des solutions mathématiques mises en évidence, nous proposons une implémentation sous Matlab pour
calculer les filtres d’échelle des ondelettes.
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According to these mathematical solutions, we propose a Matlab implementation to compute wavelet filters.
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Représentation d'une matrice 3-par-3, dans le domaine fréquentiel, calculée sous Matab.
Representation of a 3-by-3 matrix, in the frequency domain, computed with Matlab.
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Finalement, nous implémentons
la transformée en ondelettes sous forme de banc
de filtres itéré et l’appliquons à des images test.
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Finally, we implement the wavelet transform using an iterated filterbank algorithm. We apply the transform to test images.
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Vue du banc de filtres pour deux itérations de la décomposition d'une image test.
Filterbank view of the decomposition of a test image for two iterations.
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Deux itérations de décomposition de "Matteo".
Two iterations in the decomposition of "Matteo".
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