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| Complex Splines and Wavelets |
Florian Luisier
Section Microtechnique, EPFL |
Semester project
June 2004 |
Résumé
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Le principal atout de la décomposition en ondelettes est de proposer une analyse multi-résolution. En effet, le principe de cette transformation est de décomposer un signal en éléments de plus en plus fins. Pour réaliser cette opération, on utilise un banc de filtres de décomposition. La première partie de ce banc produit une version passe-haut et une version passe-bas du signal d'entrée; la seconde permet une reconstruction parfaite du signal d'origine, pour autant que les fonctions constituant la base dans laquelle le signal est décomposé, satisfassent quelques conditions.
Parmi les candidates valides, on trouve la famille des fonctions B-splines. Ces dernières ont été adaptées au fil des années et sont à l'heure actuelle caractérisées principalement par deux paramètres: leur degré α et leur décalage τ. Le plus souvent, ces paramètres sont réels. Cependant, il est proposé dans ce projet d'étendre ces paramètres dans le domaine complexe. L'avantage d'une telle extension est l'apparition d'un terme de phase lors de la transformation. Cette information supplémentaire augmente les performances de la transformée en ondelettes notamment dans le domaine du dé-bruitage. Il est également succinctement présenté dans ce travail une décomposition en ondelettes redondantes. L'intérêt de cette redondance est l'ajout d'une propriété supplémentaire: l'invariance par translation.
Ce travail présente la construction des ondelettes complexes et le banc de filtres correspondants. Il propose ensuite de tester l'influence des différents paramètres sur la qualité du rapport signal sur bruit dans le cadre du dé-bruitage d'images. Les diverses expérimentations effectuées permettent ainsi de mettre en évidence l'importance d'une étape souvent oubliée de la décomposition en ondelettes: le pré-filtrage. Des pertes de performances notables sont engendrées par cette paresse, particulièrement lors de l'utilisation de filtres non orthonormaux. Ce projet expose également les principales techniques de seuillage et leur efficacité respective.
En définitive, ce projet explore les différentes caractéristiques des ondelettes complexes et propose quelques pistes menant à un choix judicieux des nombreux paramètres influençant la qualité de l'atténuation des bruits gaussiens.
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