Analyse temps-fréquence linéaire II: représentations de type ondelettes
T. Blu, J. Lebrun
Temps-fréquence, concepts et outils, F. Hlawatsch, F. Auger, Eds., Hermès Paris, French Republic, pp. 101–138, 2005.
La théorie des ondelettes est née au milieu des années quatre-vingts pour répondre aux problèmes de résolution temps-fréquence des méthodes de type Fourier. En effet, nombre de signaux non-stationnaires nécessitent une analyse dont la résolution fréquentielle (respectivement temporelle) varie avec la localisation temporelle (respectivement fréquentielle). C'est pour permettre cette flexibilité que les ondelettes, un nouveau concept d'analyse dite «multi-résolution» ou «multi-échelle», ont vu le jour.
Après une présentation succincte de la transformation en ondelettes continue, nous nous focaliserons sur sa version discrète, notamment l'algorithme de Mallat, qui est à la transformation en ondelettes ce que la FFT est à la transformée de Fourier. Nous considérerons également l'important problème de la conception de filtres générateurs d'ondelettes (filtres de Daubechies, par exemple).
Par ailleurs, nous étudierons de récentes généralisations ou extensions (en particulier, multi-ondelettes, paquets d'ondelettes et frames) rendues nécessaires par certaines limitations de la théorie des ondelettes.
Enfin, nous détaillerons quelques applications qui font le succès actuel des ondelettes et plus généralement, des méthodes temps-échelle (compression et débruitage, mise en correspondance d'images, …).
L'un des buts de ce chapitre aura ainsi été de mettre en évidence la fertilisation croisée entre des approches parfois assez théoriques, où mathématiques et sciences de l'ingénieur se marient avec bonheur.
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